Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita do tipo:
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos precisar usar o Teste da Integral, que nos ajuda a analisar séries comparando com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma série
com termos positivos e decrescentes, podemos investigar a convergência da série analisando a integral correspondente:
Se a integral converge, a série também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos tratar
como uma função contínua
:
Agora, precisamos verificar se
é positiva e decrescente para
. Claramente, para
,
. E como o denominador aumenta com
,
é decrescente.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar
. Então,
. Quando
,
. Quando
,
.
Passo 5
Com a substituição, a integral fica:
Essa é uma integral conhecida. A função
tem uma antiderivada que é
.
Passo 6
Calculando a integral:
Então, a integral converge para
, que é um número finito.
Passo 7
Como a integral correspondente converge, pelo Teste da Integral, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.1) e
(22.1)
Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Determinando convergência ou divergência
Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)
11.
Determinando convergência ou divergência
Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)
11.
Qual o valor máximo da função
sobre a esfera
?