Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.1)
e
(22.1)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema de Lagrange para encontrar os valores
e
da função
, onde
está no intervalo [1, 3] e
é igual a 4. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio (que é o Teorema de Lagrange) e calcular derivadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, como
é constante, a função
se torna uma função de
apenas. Vamos substituir
por 4 na função:
Agora temos
.
Passo 3
O Teorema do Valor Médio nos diz que se uma função é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto
em (a, b) tal que:
Vamos verificar se a nossa função atende aos requisitos. Nossa função
é um polinômio, que é contínuo e diferenciável em todos os lugares, então podemos aplicar o teorema.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema do Valor Médio:
Passo 6
Vamos encontrar a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada ao resultado do teorema:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
é
.
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(10.2)
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sobre a esfera
?