Determine se a série sumn=1^infty cos (k n)n^2 converge ou diverge, sendo k uma constante real fixada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e vamos precisar usar teste de comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: . Aqui, é uma função que oscila entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os termos da série: . Como , podemos dizer que .

Passo 4

Conhecemos a série , que é um p-série com . Sabemos que uma p-série converge se . Então, essa série específica converge.

Passo 5

Como e a série converge, pelo Teste de Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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