Determine se a série sumn=1^infty cos (k n)n^2 converge ou diverge, sendo k uma constante real fixada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e vamos precisar usar teste de comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: . Aqui, é uma função que oscila entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para os termos da série: . Como , podemos dizer que .

Passo 4

Conhecemos a série , que é um p-série com . Sabemos que uma p-série converge se . Então, essa série específica converge.

Passo 5

Como e a série converge, pelo Teste de Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Seja s_n = 1 / (2^n) as somas parciais da sequência a_n. A série é convergente?
Determine todos os valores de k in R para os quais a série sumn=0^infty(k^2 n+1n+1)^n converge.
Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 de f(x) = x/(2-x). Determine ainda o raio de convergência da série.
A sequência (n^k) / (k^n) com n pertencente a N tal que k > 1, converge?.