Determine todos os valores de k in R para os quais a série sumn=0^infty(k^2 n+1n+1)^n converge.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre séries infinitas e convergência. O problema pede para encontrar todos os valores de para os quais a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Raiz nos diz para calcular o limite .

Passo 3

Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo geral:
raiz[n]|an| = raiz[n]|k^2 n + 1n + 1|^n = k^2 n + 1n + 1
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 4

Calculando o limite:
L = limn to infty k^2 n + 1n + 1 = limn to infty k^2 + 1n1 + 1n = k^2
Portanto, .

Passo 5

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 6

Aplicando isso ao nosso resultado:
  • Se , ou seja, , a série converge.
  • Se , ou seja, , a série diverge.

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que .

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