Determine todos os valores de para os quais a série converge.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre séries infinitas e convergência. O problema pede para encontrar todos os valores de para os quais a série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Raiz nos diz para calcular o limite .
Passo 3
Aplicando o Teste da Raiz ao nosso termo geral:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito.
Passo 4
Calculando o limite:
L = limn to infty k^2 n + 1n + 1 = limn to infty k^2 + 1n1 + 1n = k^2
Portanto, .
Passo 5
De acordo com o Teste da Raiz:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso resultado:
Se , ou seja, , a série converge.
Se , ou seja, , a série diverge.
Resposta
A série converge para todos os valores de tais que .