Obtenha a representação em série de potências em torno de x = 0 de f(x) = x/(2-x). Determine ainda o raio de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a representação em série de potências de em torno de . Além disso, vamos determinar qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas e propriedades de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar reescrever a função de um jeito que a gente consiga aplicar a série geométrica. A função é:
Podemos fatorar o denominador para facilitar:

Passo 3

Agora, lembrando que a série geométrica é dada por:
Comparando com o que temos, identificamos que . Então, podemos substituir na série geométrica:
Multiplicando pela fração que tiramos antes:
Podemos reescrever isso começando a soma de :

Passo 4

Para determinar o raio de convergência, vamos observar que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Isso significa que o raio de convergência é 2.

Resposta

A representação em série de potências da função em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é 2.

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