Seja
as somas parciais da sequência
. A série é convergente?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de somas parciais dada por
. A pergunta é: Essa série é convergente?
Para resolver isso, precisamos saber o que é uma série convergente e como identificar a convergência usando as somas parciais.
Passo 2
O que é uma série convergente?
Uma série é uma soma infinita de termos de uma sequência, representada por
. Dizemos que essa série é convergente se a sequência das suas somas parciais
tende a um limite finito quando
vai para o infinito. Ou seja,
onde
é um número real finito.
Passo 3
Aplicando isso ao exercício:
Nosso
é dado por
. Para verificar a convergência da série, precisamos calcular:
Passo 4
Calculando o limite:
Sabemos que
cresce exponencialmente à medida que
aumenta. Portanto,
vai diminuindo cada vez mais, aproximando-se de zero.
Matematicamente,
Passo 5
Conclusão sobre a convergência:
Como o limite das somas parciais
é zero, ou seja,
a série
é convergente e seu valor é 0.
Resposta
A série é convergente e sua soma é 0.
Exercícios relacionados
Determine todos os valores de
para os quais a série
converge.
Determine o termo geral da série infinita
e estude sua convergência, se
.
Determine se a série
converge ou diverge, sendo
uma constante real fixada.
Obtenha a representação em série de potências em torno de
de
. Determine ainda o raio de convergência da série.