Seja s_n = 1 / (2^n) as somas parciais da sequência a_n. A série é convergente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência de somas parciais dada por . A pergunta é: Essa série é convergente?
Para resolver isso, precisamos saber o que é uma série convergente e como identificar a convergência usando as somas parciais.

Passo 2

O que é uma série convergente?
Uma série é uma soma infinita de termos de uma sequência, representada por . Dizemos que essa série é convergente se a sequência das suas somas parciais tende a um limite finito quando vai para o infinito. Ou seja,
onde é um número real finito.

Passo 3

Aplicando isso ao exercício:
Nosso é dado por . Para verificar a convergência da série, precisamos calcular:

Passo 4

Calculando o limite:
Sabemos que cresce exponencialmente à medida que aumenta. Portanto, vai diminuindo cada vez mais, aproximando-se de zero.
Matematicamente,

Passo 5

Conclusão sobre a convergência:
Como o limite das somas parciais é zero, ou seja,
a série é convergente e seu valor é 0.

Resposta

A série é convergente e sua soma é 0.

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