Determine se a série
converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a série
converge ou diverge. Se convergir, temos que calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e alguns conceitos de logaritmos e somas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos
. Sabemos que
é o mesmo que
, então podemos reescrever o logaritmo assim:
Passo 3
Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz que
, temos:
Então, a série original fica:
Passo 4
Perceba que podemos fatorar o
fora da soma, pois é uma constante:
Agora, temos uma série que é o somatório dos números naturais multiplicado por uma constante.
Passo 5
Sabemos que a soma de todos os números naturais, ou seja,
, é uma série que tende ao infinito. Isso porque conforme n aumenta, os termos da soma também aumentam sem limite.
Passo 6
Multiplicando essa soma infinita por
, ainda teremos uma série que tende a menos infinito:
Isso significa que a série não converge para um valor finito.
Resposta
A série
diverge.
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converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.
Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Quais os números reais
tais que a soma é mínima e
?
Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.