Determine se a série sumn=1^infty ln 13^n converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty ln 13^n converge ou diverge. Se convergir, temos que calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e alguns conceitos de logaritmos e somas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série. Temos ln 13^n. Sabemos que 13^n é o mesmo que 3^-n, então podemos reescrever o logaritmo assim:
ln 13^n = ln (3^-n)

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz que ln a^b = b ln a, temos:
ln (3^-n) = -n ln 3
Então, a série original fica:
sumn=1^infty ln 13^n = sumn=1^infty (-n ln 3)

Passo 4

Perceba que podemos fatorar o -ln 3 fora da soma, pois é uma constante:
-ln 3 sumn=1^infty n
Agora, temos uma série que é o somatório dos números naturais multiplicado por uma constante.

Passo 5

Sabemos que a soma de todos os números naturais, ou seja, sumn=1^infty n, é uma série que tende ao infinito. Isso porque conforme n aumenta, os termos da soma também aumentam sem limite.

Passo 6

Multiplicando essa soma infinita por -ln 3, ainda teremos uma série que tende a menos infinito:
-ln 3 times infty = -infty
Isso significa que a série não converge para um valor finito.

Resposta

A série sumn=1^infty ln 13^n diverge.

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