Determine se a série
converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que analisar a série
. Essa questão está ligada ao estudo de séries alternadas e queremos saber se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular o valor dessa soma. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e, caso ela converja, a soma de uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, observe que a série tem termos que alternam sinais por causa do
. Isso significa que os termos vão mudando entre positivo e negativo à medida que
aumenta.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma
converge se três condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar as condições:
-
para todo . - Conforme
aumenta, cresce, então diminui. -
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular sua soma. Observamos que a série é geométrica com razão comum
, já que cada termo é metade do anterior.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde
é o primeiro termo.
Passo 6
O primeiro termo da nossa série é quando
:
Como estamos lidando com uma série alternada, podemos considerar apenas os valores absolutos para aplicar a fórmula da série geométrica.
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Resposta
A série converge e sua soma é 3.
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converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
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converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.
Quais os números reais
tais que a soma é mínima e
?