Determine se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 32^n converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que analisar a série . Essa questão está ligada ao estudo de séries alternadas e queremos saber se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos calcular o valor dessa soma. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada e, caso ela converja, a soma de uma série geométrica.

Passo 2

Primeiro, observe que a série tem termos que alternam sinais por causa do . Isso significa que os termos vão mudando entre positivo e negativo à medida que aumenta.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada, que diz que uma série da forma converge se três condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são positivos.
  2. A sequência é decrescente.
  3. O limite de quando tende ao infinito é zero.

Passo 4

No nosso caso, . Vamos verificar as condições:
  1. para todo .
  2. Conforme aumenta, cresce, então diminui.
  3. .
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, vamos calcular sua soma. Observamos que a série é geométrica com razão comum S = a11 - r , já que cada termo é metade do anterior.
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde é o primeiro termo.

Passo 6

O primeiro termo da nossa série é quando a1 = (-1)^1+1 32^1 = 32 :
Como estamos lidando com uma série alternada, podemos considerar apenas os valores absolutos para aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 7

Aplicando a fórmula:
S = 321 - 12 = 3212 = 3

Resposta

A série converge e sua soma é 3.

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