Use o teste da integral para determinar se a série sumn=1^infty n^2e^n / 3 converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver o exercício onde a gente precisa descobrir se a série converge ou diverge usando o Teste da Integral. Esse teste é parte da matéria de Cálculo, e para ele funcionar, a gente precisa garantir que a função associada à série seja positiva, contínua e decrescente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. Aqui, . Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Vamos analisar se é positiva. Como e são sempre positivos para , a função também é positiva.

Passo 4

Agora, vamos ver se é contínua. Tanto o numerador quanto o denominador da função são funções contínuas para , e o denominador nunca é zero. Portanto, é contínua nesse intervalo.

Passo 5

Em seguida, precisamos confirmar se f'(x) = 2x e^x/3 - x^2 cdot 13 e^x/3(e^x/3)^2 = e^x/3(2x - x^23)e^2x/3 = 2x - x^23e^x/3 é decrescente. Para isso, calculamos a derivada e verificamos se ela é negativa:
Para , é negativo, então . Assim, a função é decrescente para .

Passo 6

Como todas as condições do Teste da Integral estão satisfeitas, podemos aplicar o teste. Vamos calcular a integral:
integral1^infty x^2e^x / 3 , dx
Fazendo a substituição 3 integral1/3^infty (3u)^2e^u , du = 27 integral1/3^infty u^2e^u , du , então e , a integral se torna:
Sabemos que a integral converge porque cresce muito mais rápido que .

Resposta

A série converge pelo Teste da Integral.

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