Use o teste da integral para determinar se a série
converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver o exercício onde a gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge usando o Teste da Integral. Esse teste é parte da matéria de Cálculo, e para ele funcionar, a gente precisa garantir que a função associada à série seja positiva, contínua e decrescente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função
que corresponde aos termos da série. Aqui,
. Precisamos verificar se essa função é positiva, contínua e decrescente para aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Vamos analisar se
é positiva. Como
e
são sempre positivos para
, a função
também é positiva.
Passo 4
Agora, vamos ver se
é contínua. Tanto o numerador quanto o denominador da função são funções contínuas para
, e o denominador nunca é zero. Portanto,
é contínua nesse intervalo.
Passo 5
Em seguida, precisamos confirmar se
é decrescente. Para isso, calculamos a derivada
e verificamos se ela é negativa:
Para
,
é negativo, então
. Assim, a função é decrescente para
.
Passo 6
Como todas as condições do Teste da Integral estão satisfeitas, podemos aplicar o teste. Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição
, então
e
, a integral se torna:
Sabemos que a integral
converge porque
cresce muito mais rápido que
.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Integral.
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Determine se a série
converge ou diverge. Se a série converge, calcule sua soma.
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