Esboce e calcule a área da regiāo delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar (esboçar) e calcular a área da região que está entre as curvas
e
. Vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo Integral para resolver isso. Precisamos entender como essas funções se comportam, encontrar onde elas se cruzam e, finalmente, calcular a área entre elas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso significa resolver a equação
. Fazendo isso, temos:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos entender qual delas está por cima nesse intervalo. Vamos escolher um valor de
entre -2 e 2, por exemplo,
:
Como
, a curva
está acima da curva
nesse intervalo.
Passo 4
Para calcular a área entre as duas curvas de
a
, usamos a integral da diferença das funções superior e inferior. A fórmula geral para a área
é:
Onde
é a função de cima e
a de baixo. No nosso caso:
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Primeiro, integraremos termo a termo:
Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 2:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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satisfaz ou não as condições do Teste de Leibniz. É possível afirmar que a série converge?
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e
. (Obs.: Duas retas são chamadas de reversas se não são paralelas nem se interceptam.)
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