Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs Exatas. Precisamos verificar se essa equação é exata. Se não for, vamos buscar um fator integrante para torná-la exata e, finalmente, resolver a EDO para encontrar a solução geral ou particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a EDO é exata. Uma EDO é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como as duas são iguais, a EDO é exata.
Passo 5
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Comparando:
Integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, substituindo
na expressão de
:
A solução geral da EDO é dada por:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.2)
(9.2)
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Seja
. Calcule, caso existam,
e
.
Usando o critério de Sylvester determine se as funções abaixo possuem máximo local, mínimo local e pontos de sela:
(10.3)
(10.3)