Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
[-y/x^2 + 2 cos(2x)] + [1/x - 2 sen(2y)] dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre EDOs Exatas. Precisamos verificar se essa equação é exata. Se não for, vamos buscar um fator integrante para torná-la exata e, finalmente, resolver a EDO para encontrar a solução geral ou particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a EDO é exata. Uma EDO é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
Como as duas são iguais, a EDO é exata.

Passo 5

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Comparando:
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, substituindo na expressão de :
A solução geral da EDO é dada por:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante real.

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