Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.2)
(9.2)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: precisamos escrever a forma quadrática
associada à matriz simétrica
dada e, em seguida, classificar essa forma como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. Para isso, vamos usar conhecimentos de matrizes simétricas e formas quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma forma quadrática. Dada uma matriz simétrica
, a forma quadrática associada é definida por:
onde
é o vetor
. No nosso caso, a matriz
é:
Passo 3
Vamos calcular a forma quadrática
usando a definição:
Fazendo a multiplicação das matrizes:
Passo 4
Agora que temos a forma quadrática, precisamos classificá-la. Para isso, vamos analisar os autovalores da matriz
. A classificação é a seguinte:
- Positiva definida: Todos os autovalores são positivos.
- Negativa definida: Todos os autovalores são negativos.
- Indefinida: Possui autovalores positivos e negativos.
- Positiva semidefinida: Todos os autovalores são não negativos.
- Negativa semidefinida: Todos os autovalores são não positivos.
Passo 5
Vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para uma matriz
como a nossa:
Os autovalores
são soluções da equação característica:
Substituindo os valores de
:
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Passo 6
Vamos calcular aproximadamente os valores dos autovalores:
Passo 7
Como temos um autovalor positivo (
) e um negativo (
), a forma quadrática é indefinida.
Resposta
A forma quadrática associada à matriz
é:
E ela é indefinida.
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Seja
. Calcule, caso existam,
e
.