Determine se a série sumn=1^infty 2^nn+1 converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é a soma dos termos para indo de 1 até o infinito. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries que têm termos com potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se calcularmos o limite:
E:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = 2^n+1(n+1)+1 = 2^n+1n+2 .
Então, calculamos an+1an = 2^n+1n+22^nn+1 = 2^n+1 cdot (n+1)2^n cdot (n+2) = 2 cdot n+1n+2 :
Agora, montamos a razão :

Passo 4

Vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty 2 cdot n+1n+2 vai para o infinito:
L = 2 cdot limn to infty 1 + 1n1 + 2n = 2 cdot 1 + 01 + 0 = 2 cdot 1 = 2
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 5

Então, o limite , que é maior que 1. Segundo o Teste da Razão, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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