Determine se a série converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é a soma dos termos para indo de 1 até o infinito. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries que têm termos com potências de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série , se calcularmos o limite:
E:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an+1 = 2^n+1(n+1)+1 = 2^n+1n+2 .