Encontre a soma da série sumn=1^infty(tg^-1(n)-tg^-1(n+1)).
Convergência ou divergência
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
49. sumn=0^infty(1raiz2)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 49 juntos! A gente precisa analisar a série . O conteúdo aqui é sobre séries geométricas e vamos precisar entender quando uma série geométrica converge ou diverge, além de saber calcular a soma dela caso ela convirja.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série é da forma , onde é uma constante. Isso é conhecido como uma série geométrica.

Passo 3

Agora, precisamos saber quando uma série geométrica converge. A regra é que a série converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, |1raiz2| = 1raiz2 approx 0,707 . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma S = a11 - r de uma série geométrica infinita que converge é:
onde é o primeiro termo da série. No nosso caso, como a série começa em , .

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
S = 11 - 1raiz2
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador:
1 - 1raiz2 = raiz2 - 1raiz2
Então,
S = 1raiz2 - 1raiz2 = raiz2raiz2 - 1

Passo 7

Para deixar mais bonito, vamos multiplicar o numerador e denominador por S = raiz2 (raiz2 + 1)(raiz2 - 1)(raiz2 + 1) = 2 + raiz22 - 1 = 2 + raiz2 para racionalizar:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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