Encontre a soma da série .
Convergência ou divergência
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
49.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 49 juntos! A gente precisa analisar a série . O conteúdo aqui é sobre séries geométricas e vamos precisar entender quando uma série geométrica converge ou diverge, além de saber calcular a soma dela caso ela convirja.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série temos aqui. A série é da forma , onde é uma constante. Isso é conhecido como uma série geométrica.
Passo 3
Agora, precisamos saber quando uma série geométrica converge. A regra é que a série converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
Passo 4
No nosso caso, . Vamos calcular o valor absoluto:
Como , a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma S = a11 - r de uma série geométrica infinita que converge é:
onde é o primeiro termo da série. No nosso caso, como a série começa em , .
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
S = 11 - 1raiz2
Para facilitar, vamos racionalizar o denominador:
1 - 1raiz2 = raiz2 - 1raiz2
Então,
S = 1raiz2 - 1raiz2 = raiz2raiz2 - 1
Passo 7
Para deixar mais bonito, vamos multiplicar o numerador e denominador por S = raiz2 (raiz2 + 1)(raiz2 - 1)(raiz2 + 1) = 2 + raiz22 - 1 = 2 + raiz2 para racionalizar: