Seja a curva parametrizada por . Escreva a equação da reta tangente a no ponto .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma curva descrita por uma parametrização e precisa encontrar a equação da reta tangente nessa curva no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre curvas parametrizadas e derivadas, que nos ajudam a encontrar a direção da tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto . Para isso, substituímos na função :
Simplificando as funções trigonométricas:
Então:
Portanto, o ponto tem coordenadas .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dá o vetor tangente à curva. A derivada é dada por:
Vamos simplificar cada componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então, a derivada fica:
Agora, avaliamos :
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente no ponto .
Passo 4
Com o ponto e o vetor diretor, podemos escrever a equação da reta tangente. A equação paramétrica da reta é:
Onde são as coordenadas de e são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.