Seja a curva C parametrizada por sigma(t) = (t^2, sen(x) - t cos(t), cos(t) + t sen(t)), 0 <= t <= pi. Escreva a equação da reta tangente a C no ponto P = sigma(pi/2).

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma curva descrita por uma parametrização e precisa encontrar a equação da reta tangente nessa curva no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre curvas parametrizadas e derivadas, que nos ajudam a encontrar a direção da tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto . Para isso, substituímos na função :
Simplificando as funções trigonométricas:
Então:
Portanto, o ponto tem coordenadas .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dá o vetor tangente à curva. A derivada é dada por:
Vamos simplificar cada componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Então, a derivada fica:
Agora, avaliamos :
Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente no ponto .

Passo 4

Com o ponto e o vetor diretor, podemos escrever a equação da reta tangente. A equação paramétrica da reta é:
Onde são as coordenadas de e são as componentes do vetor diretor, e é o parâmetro.
Substituindo os valores:
Simplificando, temos:

Resposta

A equação da reta tangente a no ponto é:

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