Use o teste da integral para determinar se a série sumn=2^infty ln (n^2)n converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge. Isso envolve entender a matéria de séries infinitas e como o teste da integral funciona. Precisamos verificar se a função é contínua, positiva e decrescente para aplicar o teste.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão da série. Sabemos que sumn=2^infty 2ln(n)n , então a série fica:
2 sumn=2^infty ln(n)n
Podemos fatorar o 2:
Agora, vamos focar na série .

Passo 3

Para aplicar o teste da integral, consideramos a função contínua, positiva e decrescente f'(x) = 1 cdot x - ln(x) cdot 1x^2 = x - ln(x)x^2 para . Vamos verificar se ela é de fato decrescente:
Para , , então . Isso indica que a função não é decrescente. Nesse caso, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Mas, se ajustarmos adequadamente, podemos seguir adiante.

Passo 4

Na verdade, houve um erro no cálculo da derivada. Vamos recalcular:
f'(x) = ddx(ln(x)x) = 1/x cdot x - ln(x) cdot 1x^2 = 1 - ln(x)x^2
Para (onde é aproximadamente 2,718), , então . Portanto, para , a função é decrescente, o que satisfaz uma das condições do teste da integral.

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da integral. Calculamos a integral de integral2^infty ln(x)x , dx de 2 a infinito:
integralln(2)^infty u , du = u^22|ln(2)^infty = infty
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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