Use o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge. Certifique-se de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o teste da integral para determinar se a série converge ou diverge. Isso envolve entender a matéria de séries infinitas e como o teste da integral funciona. Precisamos verificar se a função é contínua, positiva e decrescente para aplicar o teste.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão da série. Sabemos que , então a série fica:
Podemos fatorar o 2:
Agora, vamos focar na série .
Passo 3
Para aplicar o teste da integral, consideramos a função contínua, positiva e decrescente para . Vamos verificar se ela é de fato decrescente:
Para , , então . Isso indica que a função não é decrescente. Nesse caso, não podemos aplicar diretamente o teste da integral. Mas, se ajustarmos adequadamente, podemos seguir adiante.
Passo 4
Na verdade, houve um erro no cálculo da derivada. Vamos recalcular:
Para (onde é aproximadamente 2,718), , então . Portanto, para , a função é decrescente, o que satisfaz uma das condições do teste da integral.
Passo 5
Agora, aplicamos o teste da integral. Calculamos a integral de de 2 a infinito:
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série também diverge.