Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a série de Taylor da função
no ponto
. Além disso, também vamos calcular o raio de convergência dessa série. A série de Taylor nos ajuda a aproximar funções suaves por polinômios, e o raio de convergência indica até que ponto essa aproximação é válida.
Passo 2
Vamos relembrar a definição da série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de um ponto
é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las no ponto
.
-
Primeira derivada:Avaliando em
: -
Segunda derivada:Avaliando em
: -
Terceira derivada:Avaliando em
: -
Quarta derivada:Avaliando em
:
E assim por diante. Observamos que as derivadas de
se repetem a cada quatro termos.
Passo 4
Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Taylor usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Substituindo os valores das derivadas:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência da série de Taylor, observamos que a função
é uma função inteira, ou seja, é analítica em todo o conjunto dos números reais. Isso significa que sua série de Taylor converge para
em todo o domínio real.
Portanto, o raio de convergência
é infinito.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
O raio de convergência dessa série é infinito (
), o que indica que a série converge para
para todos os valores de
reais.
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