Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar a série de Taylor da função no ponto . Além disso, também vamos calcular o raio de convergência dessa série. A série de Taylor nos ajuda a aproximar funções suaves por polinômios, e o raio de convergência indica até que ponto essa aproximação é válida.

Passo 2

Vamos relembrar a definição da série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto é dada por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las no ponto .
  1. Primeira derivada:
    Avaliando em :
  2. Segunda derivada:
    Avaliando em :
  3. Terceira derivada:
    Avaliando em :
  4. Quarta derivada:
    Avaliando em :
E assim por diante. Observamos que as derivadas de se repetem a cada quatro termos.

Passo 4

Com as derivadas calculadas, vamos montar a série de Taylor usando a fórmula mencionada no Passo 2:
Substituindo os valores das derivadas:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência da série de Taylor, observamos que a função é uma função inteira, ou seja, é analítica em todo o conjunto dos números reais. Isso significa que sua série de Taylor converge para em todo o domínio real.
Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
O raio de convergência dessa série é infinito ( ), o que indica que a série converge para para todos os valores de reais.

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