Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você está pedindo para encontrar a série de Taylor da função no ponto e também calcular o raio de convergência. Vamos usar conceitos de séries de Taylor e analisar a função nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma representação da função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função nesse ponto. Para que essa série exista, a função precisa ser analítica no ponto , ou seja, todas as derivadas devem existir e a função deve ser suave nesse ponto.

Passo 3

Vamos verificar se a função é analítica no ponto . Para isso, observamos o valor da função quando :
Isso significa que é indefinido, ou seja, a função não está definida em .

Passo 4

Como a função não está definida no ponto , ela não é analítica nesse ponto. Sem a analiticidade, não podemos desenvolver a série de Taylor nesse ponto, já que as condições necessárias não são atendidas.

Resposta

A função não possui uma série de Taylor no ponto , pois não é analítica nesse ponto.

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