Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a série de MacLaurin para a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão em série de MacLaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a série de MacLaurin é uma expansão em torno de 0 e tem a forma:
Onde
são os coeficientes da série. Nosso objetivo é expressar
como uma série de potências.
Passo 3
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Para adaptar essa fórmula à nossa função, vamos considerar
. Então:
Isso nos leva a usar a fórmula da série binomial para
:
Onde
. Calculando os coeficientes, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa série por
para obter
:
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original
converge para
, ou seja,
. Multiplicar por
não altera o raio de convergência, então o raio de convergência da série de MacLaurin de
também é 1.
Resposta
A série de MacLaurin de
é
e o raio de convergência é 1.
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