Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a série de MacLaurin para a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e a expansão em série de MacLaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a série de MacLaurin é uma expansão em torno de 0 e tem a forma:
Onde são os coeficientes da série. Nosso objetivo é expressar como uma série de potências.

Passo 3

Sabemos que a série geométrica é dada por:
Para adaptar essa fórmula à nossa função, vamos considerar . Então:
Isso nos leva a usar a fórmula da série binomial para :
Onde . Calculando os coeficientes, temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa série por para obter :

Passo 5

Para determinar o raio de convergência, observamos que a série original converge para , ou seja, . Multiplicar por não altera o raio de convergência, então o raio de convergência da série de MacLaurin de também é 1.

Resposta

A série de MacLaurin de é
e o raio de convergência é 1.

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