Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite o desenvolvimento da série. A função é:
Podemos separar essa fração em duas partes:

Passo 3

Agora, vamos focar em cada parte separadamente. Começando com . Podemos dividir por para simplificar:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, observamos que temos duas frações com o denominador . Vamos combiná-las:
Agora, precisamos expandir em uma série de MacLaurin.

Passo 5

Lembrando que a série de MacLaurin para é uma série geométrica com razão :
Essa é a fórmula que vamos utilizar para expandir as frações.

Passo 6

Vamos agora multiplicar a série por e conforme a expressão de :

Passo 7

Substituindo essas séries na expressão de :
Podemos simplificar isso combinando os termos:

Passo 8

Para melhor visualização, vamos escrever a série completa:
Agora, simplificamos os termos:

Passo 9

Cancelando os termos e agrupando semelhantes, obtemos a série de MacLaurin para :

Passo 10

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Observamos que a série original tem raio de convergência , já que a série geométrica converge para , ou seja, .
Como todas as manipulações realizadas para obter a série de mantêm esse intervalo de convergência, o raio de convergência da série de MacLaurin de também é 1.

Resposta

A série de MacLaurin de é:
E o raio de convergência dessa série é 1.

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Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência: