Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e manipulação algébrica de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite o desenvolvimento da série. A função é:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Passo 3
Agora, vamos focar em cada parte separadamente. Começando com
. Podemos dividir
por
para simplificar:
Então, a função
fica:
Passo 4
Agora, observamos que temos duas frações com o denominador
. Vamos combiná-las:
Agora, precisamos expandir
em uma série de MacLaurin.
Passo 5
Lembrando que a série de MacLaurin para
é uma série geométrica com razão
:
Essa é a fórmula que vamos utilizar para expandir as frações.
Passo 6
Vamos agora multiplicar a série por
e
conforme a expressão de
:
Passo 7
Substituindo essas séries na expressão de
:
Podemos simplificar isso combinando os termos:
Passo 8
Para melhor visualização, vamos escrever a série completa:
Agora, simplificamos os termos:
Passo 9
Cancelando os termos e agrupando semelhantes, obtemos a série de MacLaurin para
:
Passo 10
Agora, vamos determinar o raio de convergência da série. Observamos que a série original
tem raio de convergência
, já que a série geométrica converge para
, ou seja,
.
Como todas as manipulações realizadas para obter a série de
mantêm esse intervalo de convergência, o raio de convergência da série de MacLaurin de
também é 1.
Resposta
A série de MacLaurin de
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.
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