Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar a série de Taylor dessa função em torno do ponto
. Além disso, devemos calcular o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries de Taylor e manipulação algébrica para reescrever a função de forma adequada para a expansão.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a função de forma que facilite a expansão em série. A função dada é:
Primeiro, observamos o denominador:
Podemos fatorar esse polinômio ou completá-lo para facilitar a expansão. Entretanto, uma abordagem mais direta é efetuar uma mudança de variável para centralizar a expansão em torno de
. Vamos definir
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo
na função
, temos:
Vamos simplificar o denominador passo a passo:
Então, a função simplificada fica:
Passo 4
Agora, vamos expressar
de forma que possamos expandi-la em uma série de Taylor. Observe que:
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Aplicando isso à nossa função, temos
, então:
Portanto,
Agora, substituindo
, obtemos a série de Taylor de
em torno de
:
Podemos combinar os termos para escrever de forma mais compacta:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência da série, utilizamos o critério da série geométrica. Sabemos que a série converge quando:
Portanto, o raio de convergência
é:
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
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