Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar a série de Taylor dessa função em torno do ponto . Além disso, devemos calcular o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos sobre séries de Taylor e manipulação algébrica para reescrever a função de forma adequada para a expansão.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a função de forma que facilite a expansão em série. A função dada é:
Primeiro, observamos o denominador:
Podemos fatorar esse polinômio ou completá-lo para facilitar a expansão. Entretanto, uma abordagem mais direta é efetuar uma mudança de variável para centralizar a expansão em torno de . Vamos definir , ou seja, .

Passo 3

Substituindo na função , temos:
Vamos simplificar o denominador passo a passo:
Então, a função simplificada fica:

Passo 4

Agora, vamos expressar de forma que possamos expandi-la em uma série de Taylor. Observe que:
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Aplicando isso à nossa função, temos , então:
Portanto,
Agora, substituindo , obtemos a série de Taylor de em torno de :
Podemos combinar os termos para escrever de forma mais compacta:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência da série, utilizamos o critério da série geométrica. Sabemos que a série converge quando:
Portanto, o raio de convergência é:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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