Determine a série de Taylor de
em torno de
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de Matemática que pede para encontrar a série de Taylor da função
em torno de
. A matéria aqui é Cálculo, especificamente a parte que trata de séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor, como calcular derivadas e como montar a série usando essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função suave usando uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico
. A fórmula geral da série de Taylor para uma função
em torno de
é:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para a função
no ponto
. Precisamos calcular as derivadas de
até o ponto necessário e avaliar cada uma delas em
.
Vamos listar as derivadas de
:
E percebemos que a partir da quarta derivada, as funções se repetem ciclicamente.
Passo 4
Vamos agora avaliar cada derivada em
:
E assim por diante, continuando o ciclo.
Passo 5
Agora que temos as derivadas avaliadas em
, vamos montar a série de Taylor usando a fórmula que vimos:
Substituindo os valores que encontramos:
E assim sucessivamente para os termos seguintes.
Resposta
A série de Taylor de
em torno de
é: