Determine a série de Taylor de f(x) = sen x em torno de x0 = pi / 4.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de Matemática que pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de . A matéria aqui é Cálculo, especificamente a parte que trata de séries de Taylor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a série de Taylor, como calcular derivadas e como montar a série usando essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função suave usando uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor para uma função em torno de é:
Aqui, representa a n-ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para a função no ponto . Precisamos calcular as derivadas de até o ponto necessário e avaliar cada uma delas em .
Vamos listar as derivadas de :
E percebemos que a partir da quarta derivada, as funções se repetem ciclicamente.

Passo 4

Vamos agora avaliar cada derivada em :
E assim por diante, continuando o ciclo.

Passo 5

Agora que temos as derivadas avaliadas em , vamos montar a série de Taylor usando a fórmula que vimos:
Substituindo os valores que encontramos:
E assim sucessivamente para os termos seguintes.

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:

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