II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
r)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o que a gente já sabe sobre séries geométricas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de Maclaurin é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de potências de centradas em 0. E uma série geométrica tem a forma:
onde .

Passo 3

Nossa função é . Isso parece muito com a fórmula da série geométrica! Aqui, vamos identificar . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 4

Agora, aplicamos a série geométrica substituindo por :
Então, a série de Maclaurin da função é:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica . Como , temos:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é .

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II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c)
Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
e) .
Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
c) .