II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
r)
r)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o que a gente já sabe sobre séries geométricas e como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a série de Maclaurin é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de potências de
centradas em 0. E uma série geométrica tem a forma:
onde
.
Passo 3
Nossa função é
. Isso parece muito com a fórmula da série geométrica! Aqui, vamos identificar
. Então, podemos reescrever a função assim:
Passo 4
Agora, aplicamos a série geométrica substituindo
por
:
Então, a série de Maclaurin da função
é:
Passo 5
Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica
. Como
, temos:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de Maclaurin da função
é:
E o raio de convergência dessa série é
.