II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
r) f(x) = (1 - x^2)^-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função e descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o que a gente já sabe sobre séries geométricas e como elas funcionam.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de Maclaurin é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de potências de centradas em 0. E uma série geométrica tem a forma:
onde .

Passo 3

Nossa função é . Isso parece muito com a fórmula da série geométrica! Aqui, vamos identificar . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 4

Agora, aplicamos a série geométrica substituindo por :
Então, a série de Maclaurin da função é:

Passo 5

Para encontrar o raio de convergência, usamos a condição da série geométrica . Como , temos:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de Maclaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é .

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