Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores S as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
c) S = 1/3 + 1/(9 * 2!) + 1/(27 * 3!) + 1/(81 * 4!) + ....

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma série . O que precisamos fazer é escrever essa série usando a notação de somatório e depois verificar para quais valores essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin e conhecer um pouco sobre séries de funções elementares, como a exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um padrão na série dada. Observando os termos, percebemos que o denominador envolve potências de 3 e fatorial:
Então, podemos generalizar o -ésimo termo da série como:

Passo 3

Com isso, conseguimos expressar a série em termos de um somatório:

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa série com a série de Maclaurin conhecida da função exponencial , que é:
Comparando com a nossa série, percebemos que temos , mas começamos a soma a partir de . Então podemos reescrever nossa série em relação à série de :
Isso porque a série de inclui o termo , que é 1. Subtraindo esse termo, obtemos a nossa série original.

Resposta

A série pode ser expressa como e converge para .

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