Expresse as séries abaixo através de um somatório. Então, inspirados nas séries de Mclaurin conhecidas das quatro funções elementares MAIS DISCUTIDAS em sala de aula, verifique para quais valores
as séries dadas convergem. JUSTIFIQUE. OBS. Cada uma das séries abaixo é o valor de uma série conhecida avaliada num ponto específico.
c)
.
c)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no enunciado: temos uma série
. O que precisamos fazer é escrever essa série usando a notação de somatório e depois verificar para quais valores
essa série converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Maclaurin e conhecer um pouco sobre séries de funções elementares, como a exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um padrão na série dada. Observando os termos, percebemos que o denominador envolve potências de 3 e fatorial:
Então, podemos generalizar o
-ésimo termo da série como:
Passo 3
Com isso, conseguimos expressar a série
em termos de um somatório:
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa série com a série de Maclaurin conhecida da função exponencial
, que é:
Comparando com a nossa série, percebemos que temos
, mas começamos a soma a partir de
. Então podemos reescrever nossa série em relação à série de
:
Isso porque a série de
inclui o termo
, que é 1. Subtraindo esse termo, obtemos a nossa série original.
Resposta
A série
pode ser expressa como
e converge para
.
Exercícios relacionados
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
r)
r)
II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
c)
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Recordando a teoria de erro em séries alternadas, determine o valor das expressões abaixo com erro inferior a 0.01 :
a)
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