Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve x^n.
x sumn=0^infty n x^n-1+sumk=0^infty ak x^k

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos que reescrever a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve . Para isso, vamos trabalhar com séries infinitas e manipular os somatórios para chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro termo da expressão: x cdot x^n-1 = x^n . A ideia aqui é simplificar esse produto. Como estamos multiplicando x sumn=0^infty n x^n-1 = sumn=0^infty n x^n por , podemos somar os expoentes:
Então, o primeiro termo fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo termo da expressão original: sumk=0^infty ak x^k = sumn=0^infty an x^n . Para facilitar a soma com o primeiro termo, vamos renomear o índice para , já que o índice é apenas uma variável de soma:

Passo 4

Agora que temos os dois somatórios com o mesmo índice e a mesma base sumn=0^infty n x^n + sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty (n + an) x^n , podemos somá-los diretamente:

Resposta

A expressão reescrita é:
sumn=0^infty ( an + n ) x^n

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