Escreva a expressão dada com uma série cujo o termo geral envolve .

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos que reescrever a expressão dada como uma série cujo termo geral envolve . Para isso, vamos trabalhar com séries infinitas e manipular os somatórios para chegar na forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro termo da expressão: . A ideia aqui é simplificar esse produto. Como estamos multiplicando por , podemos somar os expoentes:
Então, o primeiro termo fica:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo termo da expressão original: . Para facilitar a soma com o primeiro termo, vamos renomear o índice para , já que o índice é apenas uma variável de soma:

Passo 4

Agora que temos os dois somatórios com o mesmo índice e a mesma base , podemos somá-los diretamente:

Resposta

A expressão reescrita é:

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Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .
Determine a Série de Taylor da função dada em torno do ponto .
Fazendo a mudança de variável e supondo que tem uma série de Taylor em potências em , encontre duas soluções em séries linearmente independentes de
em potências de . Mostre que você obtem o mesmo resultado diretamente, supondo que é dado por uma série de Taylor em potências de e expressando o coeficiente em potências de .
Esboce o gráfico da função dada no intervalo .