, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a 16ª derivada de
quando
. Isso envolve conceitos de derivadas e séries de Taylor. Vamos precisar entender como expandir a função
em uma série para identificar a derivada desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor da seguinte forma:
No nosso caso, temos
, então substituímos
por
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a 16ª derivada de
em
. Observando a série, vemos que os termos são potências de
de múltiplos de 4 (ou seja,
).
Isso significa que apenas as derivadas de ordem múltiplo de 4 serão diferentes de zero em
. Como 16 é múltiplo de 4 (
), sabemos que essa derivada não será zero.
Passo 4
A fórmula geral para a derivada de ordem
de
é:
No ponto
, todas as derivadas de
onde
se anulam, restando apenas a derivada onde
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa série, queremos o termo onde
. Resolvendo para
:
Então, o termo relevante na série é:
Passo 6
A 16ª derivada de
em
é dada por:
Substituindo o coeficiente encontrado:
Passo 7
Calculando os fatoriais:
Então:
Resposta
A 16ª derivada de
em
é
.
Exercícios relacionados
Determine uma série para
em potências de
.
Usando o Teorema do Valor Intermediário, prove que a equação abaixo admite solução no intervalo
:
onde o momento de massa
e
é a distância do ponto
ao eixo. Além disso o centro de massa
é definido por
com
a massa total de
. Com estas informações, determine:
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação
,
em torno do eixo
.
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites: