f^(16)(0), onde f(x) = cos(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a 16ª derivada de quando . Isso envolve conceitos de derivadas e séries de Taylor. Vamos precisar entender como expandir a função em uma série para identificar a derivada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno pode ser expandida em uma série de Taylor da seguinte forma:
No nosso caso, temos , então substituímos por :

Passo 3

Agora, queremos encontrar a 16ª derivada de em . Observando a série, vemos que os termos são potências de de múltiplos de 4 (ou seja, ).
Isso significa que apenas as derivadas de ordem múltiplo de 4 serão diferentes de zero em . Como 16 é múltiplo de 4 ( ), sabemos que essa derivada não será zero.

Passo 4

A fórmula geral para a derivada de ordem de é:
No ponto , todas as derivadas de onde se anulam, restando apenas a derivada onde .

Passo 5

Aplicando isso à nossa série, queremos o termo onde . Resolvendo para :
Então, o termo relevante na série é:

Passo 6

A 16ª derivada de em é dada por:
Substituindo o coeficiente encontrado:

Passo 7

Calculando os fatoriais:
Então:

Resposta

A 16ª derivada de em é .

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