onde o momento de massa
e
é a distância do ponto
ao eixo. Além disso o centro de massa
é definido por
com
a massa total de
. Com estas informações, determine:
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
, de equação
,
em torno do eixo
.
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de momento de inércia e centro de massa. O enunciado nos pede para encontrar esses dois conceitos para uma superfície homogênea definida pela equação
dentro do círculo
. Vamos precisar usar integrais duplas e entender um pouco sobre geometria analítica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a superfície
. Essa é uma parábola circular que se abre para cima no eixo
. A condição
limita essa superfície a um disco de raio
na base.
Passo 3
Como a superfície é homogênea, a densidade superficial
é constante. Vamos chamar essa densidade de
. A massa total
da superfície é então:
Como
é constante, podemos escrevê-la como
, onde
é a área da superfície.
Passo 4
Para calcular o momento de inércia
em torno do eixo
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a distância de um ponto qualquer na superfície at�� o eixo
, que no caso é simplesmente
.
Passo 5
Vamos trocar para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, onde:
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é
. Calculando a derivada:
Então:
Passo 6
Agora, expressamos o momento de inércia
em coordenadas cilíndricas:
Simplificando:
A integral em
é fácil:
Então:
Passo 7
Vamos resolver a integral
usando substituição. Seja
, então
ou
.
Expressando a integral em termos de
:
Como
, temos
. Substituindo:
Integrando termo a termo:
Voltando para
:
Avaliada de 0 a
, temos:
Passo 8
Agora, substituímos essa integral de volta na expressão para
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos calcular o centro de massa
. Devido à simetria da superfície em relação aos eixos
e
, sabemos que
e
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Substituindo
:
Note que essa integral já calculamos no passo anterior.
Passo 10
Finalmente, expressamos o centro de massa:
Como
, podemos simplificar mais, mas deixamos a expressão nessa forma para representar claramente a relação.
Resposta
O momento de inércia em torno do eixo
é dado por:
E o centro de massa da superfície homogênea está localizado em:
Essas expressões fornecem o momento de inércia e a posição do centro de massa para a superfície definida no enunciado.
Exercícios relacionados
Determine uma série para
em potências de
.
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar:
.