onde o momento de massa e é a distância do ponto ao eixo. Além disso o centro de massa é definido por
com a massa total de . Com estas informações, determine:
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação , em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de momento de inércia e centro de massa. O enunciado nos pede para encontrar esses dois conceitos para uma superfície homogênea definida pela equação dentro do círculo . Vamos precisar usar integrais duplas e entender um pouco sobre geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a superfície . Essa é uma parábola circular que se abre para cima no eixo . A condição limita essa superfície a um disco de raio na base.

Passo 3

Como a superfície é homogênea, a densidade superficial é constante. Vamos chamar essa densidade de . A massa total da superfície é então:
Como é constante, podemos escrevê-la como , onde é a área da superfície.

Passo 4

Para calcular o momento de inércia em torno do eixo , usamos a fórmula:
Aqui, é a distância de um ponto qualquer na superfície at�� o eixo , que no caso é simplesmente .

Passo 5

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, onde:
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é . Calculando a derivada:
Então:

Passo 6

Agora, expressamos o momento de inércia em coordenadas cilíndricas:
Simplificando:
A integral em é fácil:
Então:

Passo 7

Vamos resolver a integral usando substituição. Seja , então ou .
Expressando a integral em termos de :
Como , temos . Substituindo:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Avaliada de 0 a , temos:

Passo 8

Agora, substituímos essa integral de volta na expressão para :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos calcular o centro de massa . Devido à simetria da superfície em relação aos eixos e , sabemos que e .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo :
Note que essa integral já calculamos no passo anterior.

Passo 10

Finalmente, expressamos o centro de massa:
Como , podemos simplificar mais, mas deixamos a expressão nessa forma para representar claramente a relação.

Resposta

O momento de inércia em torno do eixo é dado por:
E o centro de massa da superfície homogênea está localizado em:
Essas expressões fornecem o momento de inércia e a posição do centro de massa para a superfície definida no enunciado.

Exercícios relacionados

, onde
Determine uma série para em potências de .
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Seja um campo escalar e um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar: .