I=integral duplaS r^2 d m
onde o momento de massa d m=f(x, y, z) d S e r=r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo. Além disso o centro de massa xc, yc, zc é definido por
xc=integral duplaS x f(x, y, z) d SM, yc=integral duplaS y f(x, y, z) d SM, zc=integral duplaS z f(x, y, z) d SM
com M a massa total de S. Com estas informações, determine:
a) O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa M, de equação z=x^2+y^2, x^2+y^2 <= r^2(r>0) em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de momento de inércia e centro de massa. O enunciado nos pede para encontrar esses dois conceitos para uma superfície homogênea definida pela equação dentro do círculo . Vamos precisar usar integrais duplas e entender um pouco sobre geometria analítica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a superfície . Essa é uma parábola circular que se abre para cima no eixo . A condição limita essa superfície a um disco de raio na base.

Passo 3

Como a superfície é homogênea, a densidade superficial M = integral duplaS sigma , dS é constante. Vamos chamar essa densidade de . A massa total da superfície é então:
Como é constante, podemos escrevê-la como , onde é a área da superfície.

Passo 4

Para calcular o momento de inércia I = integral duplaS r^2 , dm em torno do eixo , usamos a fórmula:
Aqui, é a distância de um ponto qualquer na superfície at�� o eixo , que no caso é simplesmente .

Passo 5

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, onde:
x = rho costheta, y = rho sintheta, z = rho^2
O elemento de área em coordenadas cilíndricas é partial zpartial rho = 2rho . Calculando a derivada:
dS = raiz1 + (2rho)^2 rho , drho , dtheta = rho raiz1 + 4rho^2 , drho , dtheta
Então:

Passo 6

Agora, expressamos o momento de inércia I = integral duplaS rho^2 sigma dS = sigma integral0^2pi integral0^r rho^2 cdot rho raiz1 + 4rho^2 , drho , dtheta em coordenadas cilíndricas:
I = sigma integral0^2pi dtheta integral0^r rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drho
Simplificando:
integral0^2pi dtheta = 2pi
A integral em I = 2pisigma integral0^r rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drho é fácil:
Então:

Passo 7

Vamos resolver a integral integral rho^3 raizu , du8 = 18 integral rho^2 raizu , du usando substituição. Seja 18 integral u - 14 raizu , du = 132 integral (u - 1) u^1/2 , du = 132 integral (u^3/2 - u^1/2) , du , então 132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C = 180 u^5/2 - 148 u^3/2 + C ou 180 (1 + 4rho^2)^5/2 - 148 (1 + 4rho^2)^3/2 .
Expressando a integral em termos de 180 ( (1 + 4r^2)^5/2 - 1 ) - 148 ( (1 + 4r^2)^3/2 - 1 ) :
Como , temos . Substituindo:
Integrando termo a termo:
Voltando para :
Avaliada de 0 a , temos:

Passo 8

Agora, substituímos essa integral de volta na expressão para I = 2pisigma [ 180 ( (1 + 4r^2)^5/2 - 1 ) - 148 ( (1 + 4r^2)^3/2 - 1 ) ] :
I = pisigma40 ( (1 + 4r^2)^5/2 - 1 ) - pisigma24 ( (1 + 4r^2)^3/2 - 1 )
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos calcular o centro de massa zc = integral duplaS z sigma dSM . Devido à simetria da superfície em relação aos eixos zc = sigma integral0^2pi integral0^r rho^2 cdot rho raiz1 + 4rho^2 , drho , dthetaM = 2pisigma integral0^r rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drhoM e , sabemos que e .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Substituindo :
Note que essa integral já calculamos no passo anterior.

Passo 10

Finalmente, expressamos o centro de massa:
zc = 2pisigma [ 180 ( (1 + 4r^2)^5/2 - 1 ) - 148 ( (1 + 4r^2)^3/2 - 1 ) ]M
Como , podemos simplificar mais, mas deixamos a expressão nessa forma para representar claramente a relação.

Resposta

O momento de inércia em torno do eixo I = pisigma40 ( (1 + 4r^2)^5/2 - 1 ) - pisigma24 ( (1 + 4r^2)^3/2 - 1 ) é dado por:
(xc, yc, zc) = (0, 0, 2pisigma [ 180 ( (1 + 4r^2)^5/2 - 1 ) - 148 ( (1 + 4r^2)^3/2 - 1 ) ]M)
E o centro de massa da superfície homogênea está localizado em:
Essas expressões fornecem o momento de inércia e a posição do centro de massa para a superfície definida no enunciado.

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