Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
© sumn=1^infty sen n4^n

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da série: . Sabemos que o valor de está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, podemos considerar a série dos valores absolutos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a série . Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . Como , essa série geométrica converge.

Passo 4

Como a série converge e nossos termos originais são menores ou iguais a , pelo Teste da Comparação, a série também converge.

Passo 5

Se a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original converge absolutamente. E quando uma série converge absolutamente, ela também converge.

Resposta

A série converge.

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