y' + (1/4) y = 3 + 2 cos(2t), para y(0) = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os elementos da equação na forma padrão da equação diferencial linear:
onde:

Passo 3

Calculamos o fator integrante , que é dado por:
Esse fator nos ajudará a simplificar a equação diferencial.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso pode ser reescrito como:
Notamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a t:
onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos resolver as integrais do lado direito:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
    Para resolver essa integral, usamos a fórmula:
    Aplicando os valores e :

Passo 7

Substituímos as integrais resolvidas de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar y:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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