, para
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, identificamos os elementos da equação na forma padrão da equação diferencial linear:
onde:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator nos ajudará a simplificar a equação diferencial.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso pode ser reescrito como:
Notamos que o lado esquerdo da equação é a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos resolver as integrais do lado direito:
-
Integral de
: -
Integral de
: Para resolver essa integral, usamos a fórmula:Aplicando os valorese :
Passo 7
Substituímos as integrais resolvidas de volta na equação:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é: