y^2(1-x^2) dy = arcsen(x) dx, para y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial:
Esse tipo de problema envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, uma equação que relaciona as derivadas de em função de . Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados por :
Aqui, conseguimos isolar os termos que envolvem de um lado e os que envolvem do outro, facilitando a integração de cada lado separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral é direta. Do lado direito, teremos que aplicar técnicas de integração mais elaboradas.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo:
onde é uma constante de integração.
Já o lado direito:
essa integral não é tão simples e pode exigir uma substituição ou métodos de integração por partes.

Passo 5

Vamos realizar a substituição para facilitar a integração do lado direito. Seja , então:
Além disso,
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos usar o método de integração por partes, onde escolhemos:
Então,
Infelizmente, a segunda integral não possui uma solução elementar simples, então iremos deixá-la expressa dessa forma.

Passo 7

Voltando à nossa variável original , lembramos que . Portanto, a solução geral fica:
Aplicando a condição inicial , encontramos a constante .

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por
onde é a constante de integração determinada pela condição inicial .

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