, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial:
Esse tipo de problema envolve o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), mais especificamente, uma equação que relaciona as derivadas de
em função de
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
:
Aqui, conseguimos isolar os termos que envolvem
de um lado e os que envolvem
do outro, facilitando a integração de cada lado separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Do lado esquerdo, a integral é direta. Do lado direito, teremos que aplicar técnicas de integração mais elaboradas.
Passo 4
Integrando o lado esquerdo:
onde
é uma constante de integração.
Já o lado direito:
essa integral não é tão simples e pode exigir uma substituição ou métodos de integração por partes.
Passo 5
Vamos realizar a substituição para facilitar a integração do lado direito. Seja , então:
Além disso,
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Vamos usar o método de integração por partes, onde escolhemos:
Então,
Infelizmente, a segunda integral não possui uma solução elementar simples, então iremos deixá-la expressa dessa forma.
Passo 7
Voltando à nossa variável original
, lembramos que . Portanto, a solução geral fica:
Aplicando a condição inicial
, encontramos a constante
.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por
onde
é a constante de integração determinada pela condição inicial
.
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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
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