Encontre a série de Maclaurin da função
e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral
(use os três primeiros termos da série).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
e depois usar os três primeiros termos dessa série para calcular uma aproximação da integral
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Maclaurin e como integrá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função f(x) em torno de
. Ela tem a forma:
No nosso caso, queremos a série de Maclaurin da função
.
Passo 3
Sabemos que a série de Maclaurin para
é:
Então,
fica:
Passo 4
Agora, vamos dividir
por x para obter
:
Essa é a série de Maclaurin de
.
Passo 5
Queremos achar o termo geral da série. Observando a expressão acima, vemos que:
Isso nos ajuda a identificar qualquer termo específico na série.
Passo 6
Agora, vamos usar os três primeiros termos dessa série para aproximar a integral
. Vamos considerar
:
Passo 7
Finalmente, integramos cada termo de
de
a
:
Calculando:
Simplificando os cálculos, obtemos uma aproximação do valor da integral.
Resposta
A aproximação do valor da integral
usando os três primeiros termos da série de Maclaurin é aproximadamente 0,03125.
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