Encontre a série de Maclaurin da função f(x)=1-cos xx e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral integral1 / 2^1 1-cos xx d x (use os três primeiros termos da série).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função e depois usar os três primeiros termos dessa série para calcular uma aproximação da integral . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Maclaurin e como integrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função f(x) em torno de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n . Ela tem a forma:
No nosso caso, queremos a série de Maclaurin da função .

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin para cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! é:
1 - cos x = 1 - sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n(2n)!
Então, fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir f(x) = 1 - cos xx = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^2n - 1(2n)! por x para obter :
Essa é a série de Maclaurin de .

Passo 5

Queremos achar o termo geral da série. Observando a expressão acima, vemos que:
Termo >=ral = (-1)^n+1 x^2n - 1(2n)!
Isso nos ajuda a identificar qualquer termo específico na série.

Passo 6

Agora, vamos usar os três primeiros termos dessa série para aproximar a integral f(x) approx (-1)^2 x^12! + (-1)^3 x^34! + (-1)^4 x^56! = x2 - x^324 + x^5720 . Vamos considerar :

Passo 7

Finalmente, integramos cada termo de integral1/2^1 ( x2 - x^324 + x^5720 ) dx = [ x^24 - x^496 + x^64320 ]1/2^1 de ( 14 - 196 + 14320 ) - ( (1/2)^24 - (1/2)^496 + (1/2)^64320 ) a :
Calculando:
Simplificando os cálculos, obtemos uma aproximação do valor da integral.

Resposta

A aproximação do valor da integral usando os três primeiros termos da série de Maclaurin é aproximadamente 0,03125.

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