Encontre a série de Maclaurin da função e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral (use os três primeiros termos da série).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função e depois usar os três primeiros termos dessa série para calcular uma aproximação da integral . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de Maclaurin e como integrá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Maclaurin. É uma série de potências que representa uma função f(x) em torno de . Ela tem a forma:
No nosso caso, queremos a série de Maclaurin da função .

Passo 3

Sabemos que a série de Maclaurin para é:
Então, fica:

Passo 4

Agora, vamos dividir por x para obter :
Essa é a série de Maclaurin de .

Passo 5

Queremos achar o termo geral da série. Observando a expressão acima, vemos que:
Isso nos ajuda a identificar qualquer termo específico na série.

Passo 6

Agora, vamos usar os três primeiros termos dessa série para aproximar a integral . Vamos considerar :

Passo 7

Finalmente, integramos cada termo de de a :
Calculando:
Simplificando os cálculos, obtemos uma aproximação do valor da integral.

Resposta

A aproximação do valor da integral usando os três primeiros termos da série de Maclaurin é aproximadamente 0,03125.

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