Resolva as integrais abaixo (ESCOLHA 4 DAS 5 INTEGRAIS PARA RESOLVER): integral 3 x^2-6 x+73x^3-2 x^2+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, a gente vai usar um método chamado frações parciais, que é muito útil quando temos uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Então, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^3 - 2x^2 + x = x(x^2 - 2x + 1) . Observando os termos, podemos fatorar um x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 em evidência:
x^3 - 2x^2 + x = x(x - 1)^2
Agora, o que sobra é , que é um trinômio quadrado perfeito:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 3x^2 - 6x + 73x(x - 1)^2 = Ax + Bx - 1 + C(x - 1)^2 , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 3x^2 - 6x + 73 = A(x - 1)^2 + Bx(x - 1) + Cx , A(x^2 - 2x + 1) + Bx(x - 1) + Cx = A x^2 - 2A x + A + B x^2 - B x + C x e (A + B) x^2 + (-2A - B + C) x + A , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum A + B = 3 -2A - B + C = -6 A = 73 :
73 + B = 3 implies B = 3 - 73 = 23
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
-2(73) - 23 + C = -6 implies -143 - 23 + C = -6 implies -163 + C = -6
Agrupando os termos:
C = -6 + 163 = -183 + 163 = -23
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Da terceira equação, já temos . Substituindo esse valor na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:
Resolvendo para :
Então, temos , e .

Passo 5

Substituímos os valores de 3x^2 - 6x + 73x(x - 1)^2 = 73x + 23x - 1 + -23(x - 1)^2 , = 73x + 23(x - 1) - 23(x - 1)^2 e na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar os coeficientes:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 73x , dx + integral 23(x - 1) , dx - integral 23(x - 1)^2 , dx
Integrando:
  1. (usando a regra )

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral 3x^2 - 6x + 73x^3 - 2x^2 + x , dx = 73 ln|x| + 23 ln|x - 1| + 23(x - 1) + C
Onde é a constante de integração.

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