Resolva as integrais abaixo (ESCOLHA 4 DAS 5 INTEGRAIS PARA RESOLVER):
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, a gente vai usar um método chamado frações parciais, que é muito útil quando temos uma fração onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Então, vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observando os termos, podemos fatorar um em evidência:
Agora, o que sobra é , que é um trinômio quadrado perfeito:
Então, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Da terceira equação, já temos . Substituindo esse valor na primeira equação:
Agora, substituímos e na segunda equação:
Resolvendo para :
Então, temos , e .
Passo 5
Substituímos os valores de 3x^2 - 6x + 73x(x - 1)^2 = 73x + 23x - 1 + -23(x - 1)^2 , = 73x + 23(x - 1) - 23(x - 1)^2 e na decomposição das frações parciais:
Podemos simplificar os coeficientes:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 73x , dx + integral 23(x - 1) , dx - integral 23(x - 1)^2 , dx
Integrando:
(usando a regra )
Resposta
Juntando tudo, a integral fica:
integral 3x^2 - 6x + 73x^3 - 2x^2 + x , dx = 73 ln|x| + 23 ln|x - 1| + 23(x - 1) + C