Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a convergência da série
. Isso envolve entender se a soma infinita desses termos dá um número finito (converge) ou não (diverge). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Divergência, que é uma ferramenta bem útil em séries.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
Nosso objetivo é entender o comportamento de
conforme
fica bem grande (tende ao infinito).
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau. Então, podemos dividir cada termo pelo termo de maior grau, que é
:
Quando
tende ao infinito, os termos com
no denominador (como
) vão a zero. Então, a expressão simplifica para:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite de
quando
tende ao infinito não for zero, então a série
não converge, ou seja, ela diverge.
No nosso caso:
Passo 5
Como o limite de
não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge. Portanto, concluímos que ela diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Resolva as integrais abaixo (ESCOLHA 4 DAS 5 INTEGRAIS PARA RESOLVER):
Encontre a série de Maclaurin da função
e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral
(use os três primeiros termos da série).
Encontre uma representação em série de potências de
e encontre seu intervalo de convergência e seu raio de convergência.
Resolva cada uma dos PVIs seguintes: