Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a convergência da série . Isso envolve entender se a soma infinita desses termos dá um número finito (converge) ou não (diverge). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Divergência, que é uma ferramenta bem útil em séries.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão geral da série:
Nosso objetivo é entender o comportamento de conforme fica bem grande (tende ao infinito).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Observe que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de terceiro grau. Então, podemos dividir cada termo pelo termo de maior grau, que é :
Quando tende ao infinito, os termos com no denominador (como ) vão a zero. Então, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite de quando tende ao infinito não for zero, então a série não converge, ou seja, ela diverge.
No nosso caso:

Passo 5

Como o limite de não é zero, de acordo com o Teste da Divergência, a série não converge. Portanto, concluímos que ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Resolva as integrais abaixo (ESCOLHA 4 DAS 5 INTEGRAIS PARA RESOLVER):
Encontre a série de Maclaurin da função e escreva seu termo geral. Depois use-a para calcular um valor aproximado da integral (use os três primeiros termos da série).
Encontre uma representação em série de potências de e encontre seu intervalo de convergência e seu raio de convergência.
Resolva cada uma dos PVIs seguintes: