Encontre uma representação em série de potências de e encontre seu intervalo de convergência e seu raio de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma representação em série de potências para a função e também descobrir qual é o intervalo de convergência e o raio de convergência dessa série. Isso envolve um pouco de álgebra e entendimento sobre séries geométricas, que são séries que seguem um padrão de multiplicação constante entre os termos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para ficar mais fácil de trabalhar com séries de potências. A ideia é colocar a função na forma de uma série geométrica, que é , onde é algum termo que depende de .
Então, vamos manipular :
Agora, temos onde .
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica pode ser expandida como:
Essa expansão é válida quando . No nosso caso, , então vamos substituir:
Passo 4
Agora, lembrando que , vamos multiplicar a série que acabamos de encontrar por :
Simplificando, temos a representação em série de potências:
Ou, de forma geral:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge para todos os tais que está entre e .
Passo 6
O raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de a , o raio é:
Resposta
A representação em série de potências de é:
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .