Encontre uma representação em série de potências de e encontre seu intervalo de convergência e seu raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar uma representação em série de potências para a função e também descobrir qual é o intervalo de convergência e o raio de convergência dessa série. Isso envolve um pouco de álgebra e entendimento sobre séries geométricas, que são séries que seguem um padrão de multiplicação constante entre os termos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para ficar mais fácil de trabalhar com séries de potências. A ideia é colocar a função na forma de uma série geométrica, que é , onde é algum termo que depende de .
Então, vamos manipular :
Agora, temos onde .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica pode ser expandida como:
Essa expansão é válida quando . No nosso caso, , então vamos substituir:

Passo 4

Agora, lembrando que , vamos multiplicar a série que acabamos de encontrar por :
Simplificando, temos a representação em série de potências:
Ou, de forma geral:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série converge para todos os tais que está entre e .

Passo 6

O raio de convergência é metade do comprimento do intervalo de convergência. Como o intervalo vai de a , o raio é:

Resposta

A representação em série de potências de é:
O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem (ESCOLHA 3 DAS 4 SÉRIES PARA RESOLVER):
Resolva as integrais abaixo (ESCOLHA 4 DAS 5 INTEGRAIS PARA RESOLVER):
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Resolva cada uma dos PVIs seguintes: