Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão quer. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação.
Passo 2
Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Perceba que a equação agora pode ser escrita como a derivada do produto de
e
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
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(b)
(b)