Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
d/dx y = -y/x, y(1)=3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão quer. A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:

Onde .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:

Simplificando:

Passo 5

Perceba que a equação agora pode ser escrita como a derivada do produto de y e x:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:

Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para y:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:

Passo 9

Substituindo C na expressão de y:

Resposta

A solução da equação diferencial é

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