Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
46.
46.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
para
. Estamos trabalhando com derivadas, especificamente com funções inversas das funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que temos. Temos
. Vamos chamar o que está dentro da função
de
, ou seja:
Então, podemos reescrever a função original como:
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada
, vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas separadamente.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar
. Sabemos que:
Aplicando a derivada:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
. A derivada da função inversa da secante hiperbólica é dada por:
Passo 6
Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Substituindo
:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão:
Multiplicando os termos:
Os
se cancelam:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
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43.
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30.
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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b) ;
(b)
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
36.
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