Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
46.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função para . Estamos trabalhando com derivadas, especificamente com funções inversas das funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que temos. Temos . Vamos chamar o que está dentro da função de , ou seja:
Então, podemos reescrever a função original como:

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada , vamos usar a regra da cadeia, que nos diz que:
Vamos encontrar cada uma dessas derivadas separadamente.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar . Sabemos que:
Aplicando a derivada:

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Sabemos que . A derivada da função inversa da secante hiperbólica é dada por:

Passo 6

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Substituindo :
Simplificando a expressão dentro da raiz:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
Multiplicando os termos:
Os se cancelam:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
(b) ;
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36.