Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador da nossa fração . Sabemos que o cosseno de um número, , sempre fica entre -1 e 1. Então, vai ficar entre e . Ou seja, o numerador está sempre entre 2 e 4.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, . Conforme cresce, cresce bem mais rápido que 2, então para valores grandes de , o denominador é aproximadamente . Isso significa que a fração toda, para grande, se comporta como .

Passo 4

Para simplificar, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que essa é uma série p, onde . Sabendo que, para séries p, a série converge se e diverge se , nossa série de comparação converge porque .

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Já que nossa fração original é menor ou igual a para todo grande, e a série de comparação converge, isso indica que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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O que dizer da série nos casos abaixo?
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(d)
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)