Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty 3-cos nn^3 / 2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se a série sumn=1^infty 3-cos nn^3 / 2-2 converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador da nossa fração 3-cos nn^3 / 2-2. Sabemos que o cosseno de um número, cos n, sempre fica entre -1 e 1. Então, 3 - cos n vai ficar entre 3 - (-1) = 4 e 3 - 1 = 2. Ou seja, o numerador está sempre entre 2 e 4.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador, n^3/2 - 2. Conforme n cresce, n^3/2 cresce bem mais rápido que 2, então para valores grandes de n, o denominador é aproximadamente n^3/2. Isso significa que a fração toda, para n grande, se comporta como 3 - cos nn^3/2.

Passo 4

Para simplificar, vamos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 4n^3/2. Sabemos que essa é uma série p, onde p = 3/2. Sabendo que, para séries p, a série converge se p > 1 e diverge se p <= 1, nossa série de comparação converge porque 3/2 > 1.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Já que nossa fração original 3 - cos nn^3/2 - 2 é menor ou igual a 4n^3/2 para todo n grande, e a série de comparação sum 4n^3/2 converge, isso indica que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 3-cos nn^3 / 2-2 converge.

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