Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para saber se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série com outra que a gente já sabe se converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como comparar termos delas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador da nossa fração
. Sabemos que o cosseno de um número,
, sempre fica entre -1 e 1. Então,
vai ficar entre
e
. Ou seja, o numerador está sempre entre 2 e 4.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador,
. Conforme
cresce,
cresce bem mais rápido que 2, então para valores grandes de
, o denominador é aproximadamente
. Isso significa que a fração toda, para
grande, se comporta como
.
Passo 4
Para simplificar, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que essa é uma série p, onde
. Sabendo que, para séries p, a série converge se
e diverge se
, nossa série de comparação converge porque
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Comparação. Já que nossa fração original
é menor ou igual a
para todo
grande, e a série de comparação
converge, isso indica que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.