Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa equação pode não ser exata, então vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
da nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de
.
Assumimos
.
Passo 5
Multiplicando a equação original por
, temos:
Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Para encontrar
, igualamos os coeficientes dos termos com
:
Observamos que para simplificar, devemos escolher
tal que os termos com
se cancelem. Após simplificações, concluímos que
.
Passo 8
Multiplicando a equação original por
, temos:
Agora, a equação é exata.
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Passo 10
Derivando a expressão encontrada com relação a
e igualando à
:
Isso nos dá:
Como
só depende de
, concluímos que
deve ser cancelado, o que confirma nosso fator integrante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.