Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem:
Essa equação pode não ser exata, então vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e da nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de .
Assumimos .
Passo 5
Multiplicando a equação original por , temos:
Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:
Passo 6
Calculando as derivadas:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Para encontrar , igualamos os coeficientes dos termos com :
Observamos que para simplificar, devemos escolher tal que os termos com se cancelem. Após simplificações, concluímos que .
Passo 8
Multiplicando a equação original por , temos:
Agora, a equação é exata.
Passo 9
Integrando em relação a :
Passo 10
Derivando a expressão encontrada com relação a e igualando à :
Isso nos dá:
Como só depende de , concluímos que deve ser cancelado, o que confirma nosso fator integrante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.
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(b)