Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas: (e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem: Essa equação pode não ser exata, então vamos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e da nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais: Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a equação original, a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa apenas de . Assumimos .

Passo 5

Multiplicando a equação original por , temos: Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:

Passo 6

Calculando as derivadas: Igualando as duas expressões:

Passo 7

Para encontrar , igualamos os coeficientes dos termos com : Observamos que para simplificar, devemos escolher tal que os termos com se cancelem. Após simplificações, concluímos que .

Passo 8

Multiplicando a equação original por , temos: Agora, a equação é exata.

Passo 9

Integrando em relação a :

Passo 10

Derivando a expressão encontrada com relação a e igualando à : Isso nos dá: Como só depende de , concluímos que deve ser cancelado, o que confirma nosso fator integrante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é: Onde é a constante de integração.

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