O que dizer da série sumn=1^infty an nos casos abaixo?
lim n infty|anan+1|=2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos ver um exercício sobre séries infinitas. A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge, dado que . Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula do teste é:
L = limn to infty | an+1an |
Dependendo do valor de lim n infty|anan+1| = 2 Rightarrow lim n infty|an+1an| = 12 , temos diferentes conclusões:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos usar outro método.
No nosso caso, nos deram . Mas precisamos do limite da razão . Vamos rearranjar isso:

Passo 3

Agora, aplicando o Teste da Razão com L = 12 < 1 :
Como é menor que 1, de acordo com o teste, a série converge absolutamente. Isso significa que a série não apenas converge, mas também que a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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