Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(d) y(x^2 + y^2) dx + x(3x^2 - 5y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:

Esse tipo de equação tá no conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente, vamos lidar com uma equação que não é exata no começo. Pra resolver, a gente vai precisar encontrar um fator integrante que torne essa equação exata, ou seja, facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a equação é exata. A equação está na forma geral:

Onde:

Para ser exata, a derivada parcial de em relação a deve ser igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:

Como não é igual a ( ), a equação não é exata. Então, a gente precisa encontrar um fator integrante.

Passo 4

Como a equação não é exata, vamos tentar uma substituição para simplificar. Observando que a equação é homogênea (ou seja, todas as potências de e são iguais), podemos usar a substituição:

Dessa forma, e a derivada de em relação a fica:

Passo 5

Substituindo e na equação original:

Simplificando:
Explicando, estamos reorganizando os termos para facilitar a resolução.

Passo 6

Continuando a simplificação:

Isolando :

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:

Isso facilita a integração de ambos os lados.

Passo 8

Integrando os dois lados:

Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais.

Passo 9

Após decompor em frações parciais e integrar, obtemos:

Onde é a constante de integração.

Passo 10

Voltando à substituição original , substituímos de volta:

Simplificando essa expressão, chegamos a uma relação implícita entre e .

Passo 11

Arrumando os termos e simplificando os logaritmos:

Onde absorvemos as constantes dentro do .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:

Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados