Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação tá no conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente, vamos lidar com uma equação que não é exata no começo. Pra resolver, a gente vai precisar encontrar um fator integrante que torne essa equação exata, ou seja, facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se a equação é exata. A equação está na forma geral:
Onde:
Para ser exata, a derivada parcial de
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
Passo 4
Como a equação não é exata, vamos tentar uma substituição para simplificar. Observando que a equação é homogênea (ou seja, todas as potências de
e
são iguais), podemos usar a substituição:
Dessa forma,
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Explicando, estamos reorganizando os termos para facilitar a resolução.
Passo 6
Continuando a simplificação:
Isolando
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Isso facilita a integração de ambos os lados.
Passo 8
Integrando os dois lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, usamos frações parciais.
Passo 9
Após decompor em frações parciais e integrar, obtemos:
Onde
Passo 10
Voltando à substituição original
, substituímos de volta:
Simplificando essa expressão, chegamos a uma relação implícita entre
Passo 11
Arrumando os termos e simplificando os logaritmos:
Onde absorvemos as constantes dentro do
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde