Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série , onde , converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série de comparação apropriada para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. A ideia é calcular o limite , onde é o termo da série que estamos analisando e é o termo da série de comparação.

Passo 3

Nesse caso, nossa série é . Precisamos escolher uma série que seja mais simples e cuja convergência ou divergência já conhecemos. Uma boa escolha aqui é a série harmônica , que sabemos que diverge.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite :

Passo 5

Vamos analisar esse limite. À medida que cresce, cresce muito mais rápido que , independentemente do valor de . Portanto, o limite será:

Passo 6

Segundo o Teste de Comparação por Limites, se , onde é um número positivo e finito, então ambas as séries convergem ou divergem juntas. Porém, se o limite for infinito, como no nosso caso, e a série de comparação diverge, isso indica que a série também diverge.

Resposta

A série diverge para todo pelo Teste de Comparação por Limites.

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(e)
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