Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Teste de Comparação por Limites para analisar se a série , onde , converge ou diverge. Vamos precisar entender como funciona esse teste e escolher uma série de comparação apropriada para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste de Comparação por Limites. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de uma série comparando-a com outra série conhecida. A ideia é calcular o limite , onde é o termo da série que estamos analisando e é o termo da série de comparação.
Passo 3
Nesse caso, nossa série é . Precisamos escolher uma série que seja mais simples e cuja convergência ou divergência já conhecemos. Uma boa escolha aqui é a série harmônica , que sabemos que diverge.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite :
Passo 5
Vamos analisar esse limite. À medida que cresce, cresce muito mais rápido que , independentemente do valor de . Portanto, o limite será:
Passo 6
Segundo o Teste de Comparação por Limites, se , onde é um número positivo e finito, então ambas as séries convergem ou divergem juntas. Porém, se o limite for infinito, como no nosso caso, e a série de comparação diverge, isso indica que a série também diverge.
Resposta
A série diverge para todo pelo Teste de Comparação por Limites.