Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty cos (pi n / 3)n!

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
sumn=1^infty cos (pi n3)n!
Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (não soma a nada de finito). Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e alguns testes de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos de uma sequência. No nosso caso, cada termo dessa série é .
A função representa o fatorial de , que cresce muito rápido conforme aumenta. Já a função cosseno, , oscila entre -1 e 1. Isso já nos dá uma pista de que o denominador está crescendo bem rápido, o que pode ajudar na convergência da série.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência dessa série. Esse teste é útil quando temos fatorial ou expoentes nos termos.
O Teste da Razão diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge absolutamente; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an = cos (pi n3)n! na nossa série:
an+1 = cos (pi (n+1)3)(n+1)!
Agora, vamos calcular | an+1an | = | cos (pi (n+1)3)(n+1)! cdot n!cos (pi n3) | = | cos (pi (n+1)3)(n+1) cos (pi n3) | :
Aplicando o Teste da Razão:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
| an+1an | = |cos (pi (n+1)3)|(n+1) |cos (pi n3)|
Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, então |cos (pi (n+1)3)|(n+1) |cos (pi n3)| <= 1n+1 . Portanto:
L = limn to infty 1n+1 = 0
Agora, vamos encontrar o limite dessa expressão quando tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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lim n infty|an+1an|=1e
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