Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita sumn=1^infty an e queremos saber se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da Análise de Séries. Esse teste nos ajuda a determinar o comportamento de séries envolvendo termos que crescem ou decrescem de forma específica.
Passo 2
O Teste da Razão funciona da seguinte maneira: calculamos o limite da razão entre termos consecutivos da série, ou seja, limn to infty | an+1an |. Dependendo do valor desse limite, podemos concluir se a série converge ou diverge.
No nosso caso, foi dado que:
limn to infty | an+1an | = 1e
Aqui, e é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 3
Agora, vamos comparar o limite encontrado com 1 para aplicar o teste:
Se o limite for menor que 1, a série converge.
Se o limite for maior que 1, a série diverge.
Se o limite for igual a 1, o teste não é conclusivo.
No nosso caso, 1e approx 0,3679, que é menor que 1.
Resposta
Como limn to infty | an+1an | = 1e < 1, pela Regra da Razão, a série sumn=1^infty anconverge.