Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Primeiro, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na equação. A equação está na forma , então aqui temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais:
Como , a equação já é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial tal que:
Passo 4
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar em relação a e igualar à :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .