Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Primeiro, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação. A equação está na forma
, então aqui temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
e ver se são iguais:
Como
, a equação já é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial
é:
A solução geral da equação diferencial é então
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.