Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(a) (x+y) dx + x dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem que é . O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Primeiro, vamos verificar se a equação é exata e, se não for, vamos encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação. A equação está na forma , então aqui temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se são iguais:
Como , a equação já é exata. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de que surge da integração.

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à :
Isso implica que , então é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
A solução geral da equação diferencial é então .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante.

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