Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2 n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente descobrir se a série infinita
sumn=1^infty n^22 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2n)
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana para analisar séries com termos que envolvem fatorias ou exponenciais. Vamos precisar entender bem como simplificar o denominador e aplicar o teste direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador 2 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot (2n) = 2 times 4 times 6 times ldots times 2n . Perceba que cada termo é múltiplo de 2:
= 2^n times (1 times 2 times 3 times ldots times n) = 2^n times n!
Podemos fatorar o 2 de cada termo:
n^22 cdot 4 cdot 6 cdot ldots cdot(2n) = n^22^n times n!
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1 = (n+1)^22^n+1 times (n+1)! e depois montar a razão an+1an = (n+1)^22^n+1 times (n+1)! times 2^n times n!n^2 = (n+1)^22 times (n+1) times n^2 = n+12n^2 :
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de L = limn to infty n+12n^2 = limn to infty 1 + 1n2n = 0 quando tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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