Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica bacana para analisar séries com termos que envolvem fatorias ou exponenciais. Vamos precisar entender bem como simplificar o denominador e aplicar o teste direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Perceba que cada termo é múltiplo de 2:
Podemos fatorar o 2 de cada termo:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual:
Se , a série converge; se , diverge; se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular an+1 = (n+1)^22^n+1 times (n+1)! e depois montar a razão an+1an = (n+1)^22^n+1 times (n+1)! times 2^n times n!n^2 = (n+1)^22 times (n+1) times n^2 = n+12n^2 :
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de L = limn to infty n+12n^2 = limn to infty 1 + 1n2n = 0 quando tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.