Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que não é exata. Aqui, a matéria que estamos trabalhando é Equações Diferenciais, especificamente equações exatas e fatores integrantes. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar um fator que a torne exata para poder resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Temos:
Aqui, podemos ver que
e
. Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Então, a função potencial
é:
Para resolver a equação diferencial, igualamos a
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)
(f)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(k)
(k)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(l)
(l)