Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que não é exata. Aqui, a matéria que estamos trabalhando é Equações Diferenciais, especificamente equações exatas e fatores integrantes. Vamos precisar entender o que torna uma equação exata e como encontrar um fator que a torne exata para poder resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação. Temos:
Aqui, podemos ver que e . Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata. Isso significa que existe uma função tal que:

Passo 4

Vamos encontrar integrando em relação a :
Onde é uma função de que vamos determinar.

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Então, a função potencial é:
Para resolver a equação diferencial, igualamos a a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(k)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(l)