Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem . Vamos trabalhar com equações diferenciais exatas e, caso não seja exata, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para resolver isso, precisamos entender conceitos básicos de equações diferenciais e determinar se a equação dada é exata ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Como é constante, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Nos exercícios seguintes encontre e .
(b)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(i)