Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f) dx + cos(y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem . Vamos trabalhar com equações diferenciais exatas e, caso não seja exata, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para resolver isso, precisamos entender conceitos básicos de equações diferenciais e determinar se a equação dada é exata ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos na expressão de :
Como é constante, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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