Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
. Vamos trabalhar com equações diferenciais exatas e, caso não seja exata, encontrar um fator integrante para torná-la exata. Para resolver isso, precisamos entender conceitos básicos de equações diferenciais e determinar se a equação dada é exata ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial
é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão de
:
Como
é constante, podemos escrever a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.