Nos exercícios seguintes encontre e .
(b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial e precisamos encontrar sua primeira derivada e a segunda derivada . Estamos entrando no mundo do cálculo, especificamente nas derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e logarítmicas, além de entender que podemos derivar cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A regra aqui é simples: a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação à variável .
  1. Primeira componente:
    A derivada de , onde é uma constante, é . Então, a derivada de será:
  2. Segunda componente:
    A derivada de em relação a é . Então:
Assim, juntando as derivadas das duas componentes, temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Isso significa que vamos derivar em relação a .
  1. Primeira componente de :
    Novamente, usando a regra da derivada de :
  2. Segunda componente de :
    A derivada de é . Então:
Assim, a segunda derivada fica:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)
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(f)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.