Nos exercícios seguintes encontre
e
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial
e precisamos encontrar sua primeira derivada
e a segunda derivada
. Estamos entrando no mundo do cálculo, especificamente nas derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e logarítmicas, além de entender que podemos derivar cada componente da função vetorial separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A regra aqui é simples: a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma das suas componentes em relação à variável
.
-
Primeira componente:A derivada de
, onde é uma constante, é . Então, a derivada de será: -
Segunda componente:A derivada de
em relação a é . Então:
Assim, juntando as derivadas das duas componentes, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
-
Primeira componente de
: Novamente, usando a regra da derivada de: -
Segunda componente de
: A derivada deé . Então:
Assim, a segunda derivada fica:
Resposta
A primeira derivada é
e a segunda derivada é
.
Exercícios relacionados
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(e)
(e)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(f)
(f)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.