Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(k)
(k)
Passo 1
Bom, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata, ou seja, se já podemos integrá-la diretamente sem precisar de um fator integrante.
Passo 2
Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais das funções que acompanham
e
. Seja:
Calculamos então:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação já é exata, não precisamos encontrar um fator integrante. Podemos proceder para encontrar uma função potencial
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(i)
(i)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
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(l)
(l)
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(n)
(n)