Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(k)

Passo 1

Bom, vamos resolver a equação diferencial de primeira ordem dada:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de equações diferenciais exatas e fatores integrantes. Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata, ou seja, se já podemos integrá-la diretamente sem precisar de um fator integrante.

Passo 2

Para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais das funções que acompanham e . Seja:
Calculamos então:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação já é exata, não precisamos encontrar um fator integrante. Podemos proceder para encontrar uma função potencial tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Onde é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(i)
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(l)
Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(n)