Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty (-1)^n(arctan n)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como funciona uma série alternada e aplicar alguns testes para ver se a soma dela chega a um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, observe que a série tem o termo , o que significa que os sinais dos termos estão alternando: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série alternada. Para séries alternadas, um bom teste para usar é o Teste da Série Alternada.

Passo 3

O Teste da Série Alternada diz que se os termos positivos da série diminuem e tendem a zero, então a série converge. Vamos checar isso:
  • Termos em módulo:
  • Decrescimento: À medida que aumenta, se aproxima de , que é um número constante. Então, cresce exponencialmente, fazendo com que diminua.
  • Limite: , já que o denominador cresce muito.
Como os dois critérios são atendidos, a série alternada converge.

Passo 4

Além disso, podemos verificar a convergência absoluta. Olhando para a série dos termos absolutos:
sumn=1^infty 1(arctan n)^n
Sabemos que se aproxima de , então temos algo parecido com uma série geométrica de razão , que é menor que 1. As séries geométricas com razão menor que 1 convergem.

Resposta

A série converge absolutamente.

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