Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries infinitas e testes de convergência. Vamos precisar entender como funciona uma série alternada e aplicar alguns testes para ver se a soma dela chega a um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, observe que a série tem o termo
, o que significa que os sinais dos termos estão alternando: positivo, negativo, positivo, e assim por diante. Isso caracteriza uma série alternada. Para séries alternadas, um bom teste para usar é o Teste da Série Alternada.
Passo 3
O Teste da Série Alternada diz que se os termos positivos da série diminuem e tendem a zero, então a série converge. Vamos checar isso:
- Termos em módulo:
- Decrescimento: À medida que
aumenta, se aproxima de , que é um número constante. Então, cresce exponencialmente, fazendo com que diminua. - Limite:
, já que o denominador cresce muito.
Como os dois critérios são atendidos, a série alternada converge.
Passo 4
Além disso, podemos verificar a convergência absoluta. Olhando para a série dos termos absolutos:
Sabemos que
se aproxima de
, então temos algo parecido com uma série geométrica de razão
, que é menor que 1. As séries geométricas com razão menor que 1 convergem.
Resposta
A série
converge absolutamente.
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Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
§
§
Use o Teste de Comparação por Limites para analisar a convergência das séries abaixo.
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(a)
(a)